선형근사 (Linear approximation)
선형 근사
“함수의 그래프와 그 그래프의 접선은 인접한 부분에서 그래프가 유사하다.”
의 아이디어 사용
ex) \((1.999)^4\)
우선 \(y = x^4\) 의 그래프와 그 위의 점 \((2,16)\)에서의 접선 \(y = 32x - 48\)의 그래프를 그린다.
\(y = x^4\)을 \(f(x)\), \(y = 32x - 48\)을 \(L(x)\)라고 하자.
위에서 사용한 아이디어를 통해 \(f(1.999)\) 와 \(L(1.999)\)는 유사한 값을 갖는다.
실제로 계산해보면
\(f(1.999) = (1.999)^4 = 15.968023\),
\(L(1.999) = 32(1.999)-48 = 15.968\) 이다.
이렇게 1차(선형)근사를 통해 근사값을 찾는 방법을 선형근사라고 한다.
정리해보면 선형근사를 통해 근사값을 찾아가는 과정은
- 주어진 수(복잡한 수)와 가장 인접한 편리한 수 (계산이 쉬운 수, 주로 정수)를 택한다.
예제에서는 편리한 수 로 2를 택함.
- 주어진 수 를 미지수\(x\) 로 두고 함수로 만든다.
예제에서 1.999 -> \(x\) , 만들어진 함수 : \(f(x) = x^4\)
- 위에서 정한 편리한 수 를 \(x\) 값으로 갖는 함수 \(f(x)\)위의 점을 찾는다.
예제에서 \((2,16)\)이 함수 위의 점.
- 선택된 좌표에서 접선의 방정식을 찾는다. \(L(x) = f'(a)(x-a)+f(a)\) (여기서 a는 편리한 수)
예제에서 \(L(x) = 4(2)^3(x-2)+2^4 = 16x - 48\)